মেট্রিক স্পেস সম্পূর্ণতা হোমিওমরফিজম দ্বারা সংরক্ষিত নয়।
হোমিওমরফিজম কী সংরক্ষণ করে?
একটি হোমিওমরফিজম, যাকে ক্রমাগত রূপান্তরও বলা হয়, একটি সমতা সম্পর্ক এবং দুটি জ্যামিতিক চিত্র বা টপোলজিক্যাল স্পেসের মধ্যে বিন্দুর মধ্যে এক-একটি পত্রালাপ যা উভয় দিকে অবিচ্ছিন্ন। একটি হোমিওমরফিজম যা দূরত্ব সংরক্ষণ করে তাকে আইসোমেট্রি বলা হয়।
একটি হোমিওমরফিজম কি কম্প্যাক্টনেস রক্ষা করে?
3.3 কমপ্যাক্ট স্পেসের বৈশিষ্ট্য
আমরা আগে উল্লেখ করেছি যে কমপ্যাক্টনেস হল অ্যাস্পেসের একটি টপোলজিক্যাল সম্পত্তি, অর্থাৎ এটি হোমোমরফিজম দ্বারা সংরক্ষিত হয়। এর চেয়েও বেশি, এটি যেকোন দ্বারা একটানা ফাংশনে সংরক্ষিত থাকে৷
পূর্ণতা কি একটি টপোলজিক্যাল সম্পত্তি?
সম্পূর্ণতা একটি টপোলজিকাল সম্পত্তি নয়, অর্থাৎ শুধুমাত্র অন্তর্নিহিত টপোলজিক্যাল স্পেস দেখেই একটি মেট্রিক স্পেস সম্পূর্ণ হয়েছে কিনা তা অনুমান করা যায় না৷
সীমাবদ্ধতা টপোলজিক্যাল সম্পত্তি নয় কেন?
মেট্রিক স্পেসগুলির জন্য আমাদের সীমাবদ্ধতার একটি ধারণা রয়েছে: এটি একটি মেট্রিক স্থান সীমাবদ্ধ যদি কিছু বাস্তব সংখ্যা M থাকে যেমন d(x, y) ≤ M সমস্ত x, y এর জন্য সীমাবদ্ধতা একটি টপোলজিকাল সম্পত্তি নয়। উদাহরণস্বরূপ, (0, 1) এবং (1, ∞) হোমোমরফিক কিন্তু একটি আবদ্ধ এবং একটি নয়। ∞ n=1 হল X-এ বিন্দুর একটি ক্রম।
