গণিতে, টপোলজিক্যাল স্পেসের একটি উপসেটকে কোথাও ঘন বা বিরল বলা হয় যদি এর বন্ধের অভ্যন্তরটি খালি থাকে। খুব শিথিল অর্থে, এটি এমন একটি সেট যার উপাদানগুলি কোথাও শক্তভাবে ক্লাস্টার করা হয় না। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যাগুলি বাস্তবের মধ্যে কোথাও ঘন হয় না, যেখানে একটি খোলা বল নয়৷
1 N কি কোথাও ঘন নেই?
একটি সেটের একটি উদাহরণ যা বন্ধ হয়নি কিন্তু এখনও কোথাও ঘন নেই {1n|
∈N}। এটির একটি সীমা বিন্দু রয়েছে যা সেটে নেই (যেমন 0), তবে এটির বন্ধ এখনও কোথাও ঘন নয় কারণ {1n|n∈N}∪{0} এর মধ্যে কোনও খোলা ব্যবধান ফিট নয়৷
আপনি কীভাবে প্রমাণ করবেন একটি সেট কোথাও ঘন নয়?
A উপসেট A ⊆ X কে কোথাও ঘন বলা হয় না X যদি A এর ক্লোজারের অভ্যন্তরভাগ খালি হয়, অর্থাৎ (A)◦=∅। অন্যথায় বলুন, A কোথাও ঘন নয় যদি এটি খালি অভ্যন্তর সহ একটি বন্ধ সেটে থাকে। পরিপূরকগুলিতে পাস করে, আমরা সমানভাবে বলতে পারি যে A কোথাও ঘন নয় যদি এর পরিপূরকটিতে একটি ঘন খোলা সেট থাকে (কেন?)।
সর্বত্র ঘন মানে কি?
একটি টপোলজিক্যাল স্পেস X এর একটি উপসেট A ঘন যার জন্য বন্ধ হল পুরো স্থান X (কিছু লেখক পরিভাষাটি সর্বত্র ঘন ব্যবহার করেন)। একটি সাধারণ বিকল্প সংজ্ঞা হল: একটি সেট A যা X এর প্রতিটি খালি খোলা উপসেটকে ছেদ করে।
প্রতিটি ঘন সেট কি খোলা আছে?
একটি টপোলজিকাল স্পেস X হাইপার কানেক্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি খালি না থাকে খোলা X-এ ঘন হয়। একটি টপোলজিক্যাল স্পেস সাবম্যাক্সিমাল যদি এবং শুধুমাত্র যদিপ্রতিটি ঘন উপসেট খোলা আছে।
