সাধারণত, যেকোনো ম্যাট্রিক্সের জন্য, ইজেনভেক্টর সবসময় অর্থোগোনাল হয় না। কিন্তু একটি বিশেষ ধরনের ম্যাট্রিক্স, সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্সের জন্য, eigenvalues সর্বদা বাস্তব এবং সংশ্লিষ্ট eigenvectors সবসময় অর্থোগোনাল হয়।
ইজেনভ্যালুর ইজেনভেক্টর কি সবসময় অর্থোগোনাল?
অগত্যা সব অর্থোগোনাল নয়। যাইহোক বিভিন্ন ইজেনভ্যালুর সাথে সম্পর্কিত দুটি ইজেনভেক্টর হল অর্থোগোনাল। যেমন ধরুন X1 এবং X2 একটি ম্যাট্রিক্স A-এর দুটি ইজেনভেক্টর হচ্ছে eigenvalues λ1 এবং λ2 যেখানে λ1≠λ2।
সমস্ত সিমেট্রিক ম্যাট্রিকে কি অর্থোগোনাল ইজেনভেক্টর আছে?
যদি একটি সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স A-এর সমস্ত eigenvalue আলাদা হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্স X, যার কলাম হিসাবে সংশ্লিষ্ট eigenvectors আছে, সেই সম্পত্তি আছে যেটি X X=I, অর্থাৎ, X হল একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স৷
একটি অ-সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্সে কি অর্থোগোনাল ইজেনভেক্টর থাকতে পারে?
সিমেট্রিক সমস্যার বিপরীতে, অ-প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের eigenvalues a একটি অর্থোগোনাল সিস্টেম গঠন করে না। … পরিশেষে, তৃতীয় পার্থক্য হল যে একটি অ-প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের eigenvalues জটিল হতে পারে (যেমন তাদের সংশ্লিষ্ট eigenvectors)
ইজেনভেক্টর কি রৈখিকভাবে স্বাধীন?
স্বতন্ত্র ইজেনভ্যালুর সাথে সম্পর্কিত আইজেনভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন। ফলস্বরূপ, যদি একটি ম্যাট্রিক্সের সমস্ত eigenvalue আলাদা হয়, তাহলে তাদের সংশ্লিষ্ট eigenvectors কলাম ভেক্টরের স্থানকে বিস্তৃত করে যেখানেম্যাট্রিক্সের কলামগুলি অন্তর্গত৷
